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15 工程問題2009-12-31 10:52【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。

【數(shù)量關(guān)系】 解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。

工作量＝工作效率×工作時間 

工作時間＝工作量÷工作效率

工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。

例1 一項工程，甲隊單獨(dú)做需要10天完成，乙隊單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？

解 題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨(dú)做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10＋1/15）。

由此可以列出算式： 1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）

答：兩隊合做需要6天完成。

例2 一批零件，甲獨(dú)做6小時完成，乙獨(dú)做8小時完成�，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？

解 設(shè)總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/6－1/8），二人合做時每小時完成（1/6＋1/8）。因為二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以

（1）每小時甲比乙多做多少零件？

24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（個）

（2）這批零件共有多少個？ 

7÷（1/6－1/8）＝168（個）

答：這批零件共有168個。

解二 上面這道題還可以用另一種方法計算：

兩人合做，完成任務(wù)時甲乙的工作量之比為 1/6∶1/8＝4∶3

由此可知，甲比乙多完成總工作量的 4－3 / 4＋3 ＝1/7

所以，這批零件共有 24÷1/7＝168（個）

例3 一件工作，甲獨(dú)做12小時完成，乙獨(dú)做10小時完成，丙獨(dú)做15小時完成�，F(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？

解 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是

60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4 

因此余下的工作量由乙丙合做還需要 

（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小時）

答：還需要5小時才能完成。

例4 一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個進(jìn)水管時，需要5小時才能注滿水池；當(dāng)打開2個進(jìn)水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進(jìn)水管？

解 注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。

要2小時內(nèi)將水池注滿，即要使2小時內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。

我們設(shè)每個同樣的進(jìn)水管每小時注水量為1，則4個進(jìn)水管5小時注水量為（1×4×5），2個進(jìn)水管15小時注水量為（1×2×15），從而可知

每小時的排水量為 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1

即一個排水管與每個進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知

一池水的總工作量為 1×4×5－1×5＝15 

又因為在2小時內(nèi)，每個進(jìn)水管的注水量為 1×2， 

所以，2小時內(nèi)注滿一池水

至少需要多少個進(jìn)水管？ （15＋1×2）÷（1×2）

＝8.5≈9（個）

答：至少需要9個進(jìn)水管。

 16 正反比例問題2009-12-31 10:54【含義】 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運(yùn)用。

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運(yùn)用。

【數(shù)量關(guān)系】 判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。

【解題思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。

正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。

例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？

解 由條件知，公路總長不變。

原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12

現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12

比較以上兩式可知，把總長度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（4－3）份，從而知公路總長為 300÷（4－3）×12＝3600（米）

答： 這條公路總長3600米。

例2 張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？

解 做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系

設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題 則有 28∶4＝91∶X

28X＝91×4 X＝91×4÷28 X＝13

答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。

例3 孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？

解 書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系

設(shè)X天可以看完，就有 24∶36＝X∶15 

36X＝24×15 X＝10

答：10天就可以看完。

例4 一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。

A 

 25

 20

36

 B

 16

解 由面積÷寬＝長可知，當(dāng)長一定時，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此，

A∶36＝20∶16 25∶B＝20∶16 

解這兩個比例，得 A＝45 B＝20

所以，大矩形面積為 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162

答：大矩形的面積是162

17 按比例分配問題2009-12-31 10:55【含義】 所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。

【數(shù)量關(guān)系】 從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。 總份數(shù)＝比的前后項之和

【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。

例1 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？

解 總份數(shù)為 47＋48＋45＝140

一班植樹 560×47/140＝188（棵）

二班植樹 560×48/140＝192（棵）

三班植樹 560×45/140＝180（棵）

答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。

例2 用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？

解 3＋4＋5＝12 60×3/12＝15（厘米） 

60×4/12＝20（厘米）

60×5/12＝25（厘米）

答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。

例3 從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。

解 如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到 

1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2

9＋6＋2＝17 17×9/17＝9 

17×6/17＝6 17×2/17＝2

答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。