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例4 某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？

人 數(shù)

 80人

 一共多少人？

對應的份數(shù)

 12－8

 8＋12＋21

解 80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）

答：三個車間一共820人。

 18 百分數(shù)問題2009-12-31 10:58【含義】 百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。分數(shù)常常可以通分、約分，而百分數(shù)則無需；分數(shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數(shù)只能表示“率”；分數(shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分數(shù)的分子可以是小數(shù)；百分數(shù)有一個專門的記號“%”。

在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。

【數(shù)量關系】 掌握“百分數(shù)”、“標準量”“比較量”三者之間的數(shù)量關系：

百分數(shù)＝比較量÷標準量 

標準量＝比較量÷百分數(shù)

【解題思路和方法】 一般有三種基本類型：

（1） 求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；

（2） 已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；

（3） 已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。

例1 倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？

解 （1）用去的占 720÷（720＋6480）＝10%

（2）剩下的占 6480÷（720＋6480）＝90%

答：用去了10%，剩下90%。

例2 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？ 解 本題中女職工人數(shù)為標準量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較 量 所以 （525－420）÷525＝0.2＝20% 

或者 1－420÷525＝0.2＝20%

答：男職工人數(shù)比女職工少20%。

例3 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？ 解 本題中以男職工人數(shù)為標準量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此 

（525－420）÷420＝0.25＝25% 

或者 525÷420－1＝0.25＝25%

答：女職工人數(shù)比男職工多25%。

例4 紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？

解 （1）男職工占 420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%

（2）女職工占 525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%

答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。

例5 百分數(shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應用很廣泛，常見的百分率有：

增長率＝增長數(shù)÷原來基數(shù)×100%

合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%

出勤率＝實際出勤人數(shù)÷應出勤人數(shù)×100%

出勤率＝實際出勤天數(shù)÷應出勤天數(shù)×100%

缺席率＝缺席人數(shù)÷實有總人數(shù)×100%

發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗種子總數(shù)×100%

成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%

出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%

出油率＝油的重量÷油料重量×100%

廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%

命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%

烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率＝及格人數(shù)÷參加考試人數(shù)×100%

 19 “牛吃草”問題2009-12-31 10:59【含義】 “牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。

【數(shù)量關系】 草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)

【解題思路和方法】 解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。

例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？

解 草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？ 設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：

（1）求草每天的生長量

因為，一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內的草總量又等于原有草量加上20天內的生長量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天內生長量

同理 1×15×10＝原有草量＋10天內生長量

由此可知 （20－10）天內草的生長量為 

1×10×20－1×15×10＝50

因此，草每天的生長量為 50÷（20－10）＝5

（2）求原有草量

原有草量＝10天內總草量－10內生長量＝1×15×10－5×10＝100

（3）求5 天內草總量

5 天內草總量＝原有草量＋5天內生長量＝100＋5×5＝125

（4）求多少頭牛5 天吃完草

因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。

因此5天吃完草需要牛的頭數(shù) 125÷5＝25（頭）

答：需要5頭牛5天可以把草吃完。

例2 一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？

解 這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)（相當于“牛數(shù)”），求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：

（1）求每小時進水量

因為，3小時內的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進水量

10小時內的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進水量

所以，（10－3）小時內的進水量為 1×5×10－1×12×3＝14

因此，每小時的進水量為 14÷（10－3）＝2

（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小時進水量＝36－2×3＝30

（3）求17人幾小時淘完

17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是 

30÷（17－2）＝2（小時）

答：17人2小時可以淘完水。

 20 雞兔同籠問題2009-12-31 11:00【含義】 這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。

【數(shù)量關系】第一雞兔同籠問題：

假設全都是雞，則有 

兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）

假設全都是兔，則有 

雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（4－2）

第二雞兔同籠問題：

假設全都是雞，則有

兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）

假設全都是兔，則有

雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）

【解題思路和方法】 解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。

例1 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？

解 假設35只全為兔，則 

雞數(shù)＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）

兔數(shù)＝35－23＝12（只）

也可以先假設35只全為雞，則 

兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）

雞數(shù)＝35－12＝23（只）

答：有雞23只，有兔12只。

例2 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？

解 此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題。“每畝菠菜施肥（1÷2）千克”與“每只雞有兩個腳”相對應，“每畝白菜施肥（3÷5）千克”與“每只兔有4只腳”相對應，“16畝”與“雞兔總數(shù)”相對應，“9千克”與“雞兔總腳數(shù)”相對應。假設16畝全都是菠菜，則有

白菜畝數(shù)＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）

答：白菜地有10畝。

例3 李老師用69元給學校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本 3 .20元，日記本每本0.70元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？

解 此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設45本全都是日記本，則有

作業(yè)本數(shù)＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）

日記本數(shù)＝45－15＝30（本）

答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。

例4 （第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？

解 假設100只全都是雞，則有

兔數(shù)＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）

雞數(shù)＝100－20＝80（只）

答：有雞80只，有兔20只。