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例4 某工廠第一、二、三車(chē)間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車(chē)間比第二車(chē)間少80人，三個(gè)車(chē)間共多少人？

人 數(shù)

 80人

 一共多少人？

對(duì)應(yīng)的份數(shù)

 12－8

 8＋12＋21

解 80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）

答：三個(gè)車(chē)間一共820人。

 18 百分?jǐn)?shù)問(wèn)題2009-12-31 10:58【含義】 百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常�？梢酝ǚ�、約分，而百分?jǐn)?shù)則無(wú)需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專(zhuān)門(mén)的記號(hào)“%”。

在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%。

【數(shù)量關(guān)系】 掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：

百分?jǐn)?shù)＝比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量 

標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量÷百分?jǐn)?shù)

【解題思路和方法】 一般有三種基本類(lèi)型：

（1） 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾；

（2） 已知一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少；

（3） 已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。

例1 倉(cāng)庫(kù)里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？

解 （1）用去的占 720÷（720＋6480）＝10%

（2）剩下的占 6480÷（720＋6480）＝90%

答：用去了10%，剩下90%。

例2 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？ 解 本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較 量 所以 （525－420）÷525＝0.2＝20% 

或者 1－420÷525＝0.2＝20%

答：男職工人數(shù)比女職工少20%。

例3 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？ 解 本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此 

（525－420）÷420＝0.25＝25% 

或者 525÷420－1＝0.25＝25%

答：女職工人數(shù)比男職工多25%。

例4 紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？

解 （1）男職工占 420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%

（2）女職工占 525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%

答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。

例5 百分?jǐn)?shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛，常見(jiàn)的百分率有：

增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)÷原來(lái)基數(shù)×100%

合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%

出勤率＝實(shí)際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤人數(shù)×100%

出勤率＝實(shí)際出勤天數(shù)÷應(yīng)出勤天數(shù)×100%

缺席率＝缺席人數(shù)÷實(shí)有總?cè)藬?shù)×100%

發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗(yàn)種子總數(shù)×100%

成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%

出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%

出油率＝油的重量÷油料重量×100%

廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%

命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%

烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率＝及格人數(shù)÷參加考試人數(shù)×100%

 19 “牛吃草”問(wèn)題2009-12-31 10:59【含義】 “牛吃草”問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題，也叫“牛頓問(wèn)題”。這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。

【數(shù)量關(guān)系】 草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)

【解題思路和方法】 解這類(lèi)題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。

例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問(wèn)多少頭牛5天可以把草吃完？

解 草是均勻生長(zhǎng)的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說(shuō)5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話(huà)，得有多少頭牛？ 設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：

（1）求草每天的生長(zhǎng)量

因?yàn)�，一方�?/span>20天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長(zhǎng)量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天內(nèi)生長(zhǎng)量

同理 1×15×10＝原有草量＋10天內(nèi)生長(zhǎng)量

由此可知 （20－10）天內(nèi)草的生長(zhǎng)量為 

1×10×20－1×15×10＝50

因此，草每天的生長(zhǎng)量為 50÷（20－10）＝5

（2）求原有草量

原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長(zhǎng)量＝1×15×10－5×10＝100

（3）求5 天內(nèi)草總量

5 天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長(zhǎng)量＝100＋5×5＝125

（4）求多少頭牛5 天吃完草

因?yàn)槊款^牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。

因此5天吃完草需要牛的頭數(shù) 125÷5＝25（頭）

答：需要5頭牛5天可以把草吃完。

例2 一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時(shí)才能淘完。求17人幾小時(shí)可以淘完？

解 這是一道變相的“牛吃草”問(wèn)題。與上題不同的是，最后一問(wèn)給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時(shí)間。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1，按以下步驟計(jì)算：

（1）求每小時(shí)進(jìn)水量

因?yàn)椋?/span>3小時(shí)內(nèi)的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時(shí)進(jìn)水量

10小時(shí)內(nèi)的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時(shí)進(jìn)水量

所以，（10－3）小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量為 1×5×10－1×12×3＝14

因此，每小時(shí)的進(jìn)水量為 14÷（10－3）＝2

（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小時(shí)進(jìn)水量＝36－2×3＝30

（3）求17人幾小時(shí)淘完

17人每小時(shí)淘水量為17，因?yàn)槊啃�時(shí)漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小時(shí)減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時(shí)間是 

30÷（17－2）＝2（小時(shí)）

答：17人2小時(shí)可以淘完水。

 20 雞兔同籠問(wèn)題2009-12-31 11:00【含義】 這是古典的算術(shù)問(wèn)題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問(wèn)題，叫做第一雞兔同籠問(wèn)題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問(wèn)題叫做第二雞兔同籠問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問(wèn)題：

假設(shè)全都是雞，則有 

兔數(shù)＝（實(shí)際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）

假設(shè)全都是兔，則有 

雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)）÷（4－2）

第二雞兔同籠問(wèn)題：

假設(shè)全都是雞，則有

兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）

假設(shè)全都是兔，則有

雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）

【解題思路和方法】 解答此類(lèi)題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類(lèi)問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。通過(guò)先假設(shè)，再置換，使問(wèn)題得到解決。

例1 長(zhǎng)毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請(qǐng)你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？

解 假設(shè)35只全為兔，則 

雞數(shù)＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）

兔數(shù)＝35－23＝12（只）

也可以先假設(shè)35只全為雞，則 

兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）

雞數(shù)＝35－12＝23（只）

答：有雞23只，有兔12只。

例2 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？

解 此題實(shí)際上是改頭換面的“雞兔同籠”問(wèn)題。“每畝菠菜施肥（1÷2）千克”與“每只雞有兩個(gè)腳”相對(duì)應(yīng)，“每畝白菜施肥（3÷5）千克”與“每只兔有4只腳”相對(duì)應(yīng)，“16畝”與“雞兔總數(shù)”相對(duì)應(yīng)，“9千克”與“雞兔總腳數(shù)”相對(duì)應(yīng)。假設(shè)16畝全都是菠菜，則有

白菜畝數(shù)＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）

答：白菜地有10畝。

例3 李老師用69元給學(xué)校買(mǎi)作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本 3 .20元，日記本每本0.70元。問(wèn)作業(yè)本和日記本各買(mǎi)了多少本？

解 此題可以變通為“雞兔同籠”問(wèn)題。假設(shè)45本全都是日記本，則有

作業(yè)本數(shù)＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）

日記本數(shù)＝45－15＝30（本）

答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。

例4 （第二雞兔同籠問(wèn)題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問(wèn)雞與兔各多少只？

解 假設(shè)100只全都是雞，則有

兔數(shù)＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）

雞數(shù)＝100－20＝80（只）

答：有雞80只，有兔20只。